пʼятниця, 13 червня 2014 р.
четвер, 12 червня 2014 р.
Завдання олімпіад з математики
Завдання олімпіад з математики
Цей розділ містить олімпіадні завдання та відповіді до них.
відділом освіти.
-
10 клас математика 2012.docx - 11 клас математика 2012.docx
- 6 клас математика 2012.docx
- 7 клас математика 2012.docx
- 8 клас математика 2012.docx
- 9 клас математика 2012.docx
- Відповіді до олімпіади 2013-14.docx
-
відповіді до олімпіади з математики 2012_6-11класи.pdf -
олімпіада від Олімпуса 5-9 класи.zip - олімпіада_математика_ завдання 2013-2014.docx
середа, 11 червня 2014 р.
Готуємося до олімпіади
Тематична сторінка для учнів
Задачі на зважування та переливанняТекстові задачі, , Прокопенко В.І, Прокопенко Ю.В. Математичні олімпіади
Конструкції та зважування, Прокопенко В.І, Прокопенко Ю.В. Математичні олімпіади
Логічні задачі, Прокопенко В.І, Прокопенко Ю.В. Математичні олімпіади
Задачі на максимум та мінімум, Прокопенко В.І, Прокопенко Ю.В. Математичні олімпіади
:
Моделювання текстових задач
Моделювання текстових задач
Текстова задача – це задача на реалізовану ситуацію. Якщо у
задачі математична модель рівняння видає один результат, тобто записують без
перевірки, а якщо два або більше результатів, то всі їх обов’язково треба
проаналізувати на основі умови задачі і тільки після цього записується
відповідь.
Задача1. Турист
проплив байдаркою 25 км по озеру і 9 км проти течії і затратив на це стільки
часу, що потрібно пропливти 56 км за течією. Знайти швидкість байдарки у
стоячій воді, якщо швидкість течії річки 2км/год.
Розв’язання. Нехай
швидкість байдарки у стоячій воді х км/год, тоді за течією річки (х + 2)
км/год, а проти течії (х – 2) км/год. Складаємо математичну модель:
Відповідь: 5 км/год.
Методичний коментар. Під час розв’язування задач
потрібно не боятися вводити невідомі. У текстовій задачі головним є
не розв’язати рівняння чи систему, а дати відповідь на запитання задачі. Для
цього інколи доцільно записати вимогу задачі через змінні і шукати не окремі
невідомі, а той вираз, який дає відповідь до задачі.
Задача 2. Чотирьом робітникам різної кваліфікації доручили роботу.
Якщо одночасну будуть працювати 1, 2, 4 або 1 і 3, то вся робота буде закінчена
за 3 год 30 хв. А якщо разом працюватимуть 2, 3, 4, то робота буде закінчена за
2 год 20 хв. За який час виконають всі 4-ри робітники, працюючи разом.
Розв’язання. Дана задача відноситься до стандартизованих задач.
Нехай продуктивність першого
робітника х од/год, тоді другого – у од/год, третього – z од/год, а четвертого – u од/год. Позначимо об’єм всієї роботи t од. Складаємо математичну модель
Відповідь: 2 год
Є багато задач на спільну роботу,
у яких коли роботу позначити за 1, то вона не розв’язується, тому краще роботу
позначати за Т. Розв’яжемо двома способами задачу, в якій
використовуються цілочисленні значення
змінних.
Задача 3. У двох будинках більше 31 квартири. Число квартир в 1
будинку збільшили на 21, більше ніж в 3 рази перевищує число квартир у другому
будинку. Подвоєне число квартир в першому будинку менше потроєного числа
квартир у другому, але збільшеного на 1. Скільки квартир у кожному будинку?
Розв’язання.
І спосіб (алгебраїчний). Нехай у першому будинку х квартир, тоді у другому у квартир. Модель даної задачі – системанерівностей х, у Є N.
ІІ спосіб (графічний). Запишемо модель даної задачі у вигляді системи. Зобразимо розв’язок кожноїнерівності у системі координат. Знаходимо координати точок перетину двох графіків
Відповідь: : у першому будинку 19 квартир, у другому 13.
Задачі для самостійного опрацювання.
Задача 1. У залі клубу 320 місць, розміщених рядами. Після
того, як число місць у кожному ряду збільшили на 4 і додали ще один такий ряд,
у залі стало 420 місць. Скільки стало рядів у залі?
Задача 2. Вершник і пішохід одночасно вирушили з А в В.
вершник, прибувши в В на 50 хвилин раніше пішохода, повернувся назад в А. на
зворотному шляху він зустрівся з пішоходом за два кілометри від В. на весь шлях
вершник витратив 1 год 40 хв. Знайдіть відстань від А до В і швидкість вершника
та пішохода.
Текстові
задачі можна відшукати у посібнику Конета І.М. „Обласні математичні олімпіади”:
№13, 18, 21, 56, 61, 9 клас; у збірнику олімпіадних завдань з математики
О.Біляніна, Г. Білянін, 9 клас, № 87, 88, 109, 111, 116, 137.
Логічні задачі
Логічні задачі - математичний тренажер
Найчастіше логічні рівняння використовують,
розв’язуючи задачі, в яких відомо, що певна частина поданих в умові висловлень
хибна, а треба за цими даними відтворити істину.
Задача 1. Було 4 аркуші паперу. Деякі
з них розрізали на 4 частини; потім деякі з четвертинок знову розрізали на 4
частини і т.д. Коли підрахували загальне число аркушів, то виявилося, що їх
всього 1962. Чи правильним був підрахунок ?
Відповідь. Так.
Задача 2. У коробці з олівцями є олівці різної довжини і
різного кольору. Доведіть, що є два олівці, які відрізняються і за кольором , і
за довжиною.
Відповідь. Доведено
Задача 3 У трьох урнах лежать кулі : у першій – дві білі, у
другій – дві чорні, у третій – біла і чорна. На урнах висять таблички : ББ, ЧЧ,
БЧ, але вміст кожної з урн не відповідає
табличці. Як діставши тільки одну кулю, визначити, в якій урні що лежить ?
Відповідь. Доведено
Задача 4. Тетянка
сказала : «В Андрійка більше 100 книг». Данилко заперечив : «Ні, менше».
Марійка сказала : «Ну, хоча б одна книга у нього, напевне , є». Скільки книг
може бути в Андрійка, якщо з цих трьох тверджень рівно одне істинне ?
Відповідь. . 0 або 100.
Задача 5. Червона Шапочка показала
трьом поросятам п’ять беретиків – три червоних і два білих, зав’язала їм очі і
одягла на кожного по беретику. Після цього вона розв’язала Ніф-Ніфу очі і
спитала його, якого кольору в нього беретик. Ніф-Ніф не зміг відповісти. Потім
вона розв’язала очі Наф-Нафу і задала йому теж саме запитання. Наф-Наф також не
зміг відповісти. Нарешті, Нуф-Нуф заявив : «Можете не знімати з мене пов’язку,
я і так знаю, якого кольору мій беретик». Якого кольору беретик Нуф-Нуфа ?
Відповідь. . 0 або 100.
Задача 6. У ставок запустили 30 щук, які поступово поїдають
одна одну. Щука вважається ситою, якщо вона з’їла трьох щук (ситих чи
голодних). Яке найбільше число щук, які можуть наїстися ?
Відповідь. 9 щук.
Задача 7. Чи можна викласти у ланцюжок, за правилами гри,
всі 28 кісточок доміно так, щоб : а) на одному кінці була шестірка, а на
другому п’ятірка ? б) на обох кінцях
була шестірка ?
Відповідь. а) не можна; б) можна.
Задача 8. Летів табун сороканіжок і триголових драконів. У
них було всього 26 голів та 298 ніг. У кожної сороканіжки одна голова. Скільки
ніг у триголових драконів?
Відповідь. 14 ніг.
Задача 9. Один з трьох братів забруднив чорнилом скатертину.
На запитання «Хто це зробив ?» Олекса
відповів: «Віктор не забруднював скатертину, це зробив Борис».Віктор, навпаки,
заперечив, що цього Борис не міг зробити, а сам він ще не сідав до столу. Борис
твердив, що Олекса не забруднив скатертину, бо це зробив Віктор. З’ясувалося,
що два брати обидва разом сказали правду, а один брат дав дві неправдиві
відповіді. Хто забруднив скатертину ?
Відповідь. Віктор
Задача 10. Три подружжя на ярмарку купили речі. Кожна з цих
шести осіб заплатила за кожну річ стільки грн. , скільки купила речей. При
цьому кожний чоловік втратив на 45 грн. менше, ніж дружина. Відомо, що Микола
купив на 17 речей менше, ніж Ганна, Петро
– на 7 речей менше, ніж Надія. Скільки речей купив Іван ? Скільки речей купила
Катерина ? Хто з ким був одружений ?
Відповідь.
Задача 11. Вісім учнів – Аркадій, Борис, Володимир, Григорій,
Денис, Єгор, Кирило, Леонід – вчаться в
різних класах з 1 по 8, причому Аркадій на клас вище від Григорія, Денис на два
класи вище від Володимира, Кирило закінчив ІУ клас з похвальною грамотою,
Леонід вчиться в цій школі з У класу ;
Єгор допомагає в навчанні Володимиру але не закінчує 8 класів у цьому році;
батьки Єгора і шестикласника працюють на одному заводі; Аркадій і восьмикласник
живуть на Жовтневій, Борис і п’ятикласник – на Першотравневій, а Леонід і
семикласник – на Соборній вулиці. Хто в якому класі вчиться ?
Відповідь. Леонід в УІ класі, у УІІІ класі не Денис, а
Кирило. Тоді Єгор у УІІ класі, Денис у У класі, Володимир у ІІІ класі, Аркадій
у ІІ класі, Григорій у І класі, а Борис у ІУ класі.
Задача 12. Про число і місяць свого народження учні
повідомили таке :
Наум. Число, номер місяця та їх різниця становлять арифметичну
прогресію.
Микола. Число і номер місяця – точні куби, а їх сума – точний
квадрат.
Борис. Номер місяця в 4 рази більший від числа дня народження.
Єгор. Номер місяця і число кратні 5, сума їх – точний квадрат.
Захар. Добуток числа на номер місяця - куб непарного числа .
Іван. Число і номер місяця – точні квадрати, а їх сума -
точний куб.
Петро. Число, номер місяця і їх сума – точні квадрати.
Андрій . Число і номер місяця – точні куби, а їх сума просте
число.
Денис. Номер місяця втричі більший від числа.
Григорій. Добуток числа на номер місяця дорівнює 300.
Федір. Число і номер місяця – прості числа, а їх сума – точний
квадрат, менший від кількості прожитих років.
Микита . Сума числа з номером місяця – 41.
Знаючи, що ніякі два з цих хлопчиків не народилися
в одному місяці, визначити число і місяць дня народження кожного з них.
Відповідь. Наум – 3 лютого. Микола – 1
серпня, Борис – 3 грудня, Єгор – 20 травня, Захар – 9 березня, Петро – 16
вересня, Денис – 2 червня, Григорій – 30 жовтня, Іван – 4 квітня, Андрій – 1
січня, Федір – 2 липня , Микита – 30 листопада
Задача 13. На математичній олімпіаді було запропоновано 5
задач. Серед учасників олімпіади не було двох, що розв’язали одні і ті ж
задачі. Якщо не брати до уваги будь-яку із задач, то, вибравши довільного
учасника , можна знайти і іншого, який розв’язав із решти 4-х задач ті ж, що і
він. Скільки чоловік брало участь в олімпіаді?
Відповідь. всі номери присвоєні і школярів рівно 32.
Підписатися на:
Дописи (Atom)